2020-03-24

Data Structure Binary Tree

A binary tree is a tree data structure in which each node has at most two children, which are referred to as the left child and the right child. A recursive definition using just set theory notions is that a (non-empty) binary tree is a tuple (L, S, R), where L and R are binary trees or the empty set and S is a singleton set.[1] Some authors allow the binary tree to be the empty set as well.

前言

二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

二叉树

二叉树介绍:

二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。有了根结点之后，每个顶点定义了唯一的父结点，和最多2个子结点。然而，没有足够的信息来区分左结点和右结点。如果不考虑连通性，允许图中有多个连通分量，这样的结构叫做森林。常见的树有一般二叉树、完全二叉树、满二叉树、线索二叉树、霍夫曼树、二叉排序树、平衡二叉树、红黑树、B树。

二叉树特点：

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：
1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树图解：

二叉树代码：

/**
 * @Auther: Arsenal
 * @Date: 2020-03-24 19:28
 * @Description: 二叉树
 */
public class BinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree(root);
        HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
        HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊");
        HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
        HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");
        root.setLeftHeroNode(node2);
        root.setRightHeroNode(node3);
        node3.setRightHeroNode(node4);
        node3.setLeftHeroNode(node5);

    /* System.out.println("========前序遍历========");
    binaryTree.preOrder(root); // 1,2,3,5,4
    System.out.println("========中序遍历========");
    binaryTree.midOrder(root); // 2,1,5,3,4
    System.out.println("========后序遍历========");
    binaryTree.posOrder(root); // 2,5,4,3,1*/

    /*System.out.println("========前序遍历========");
    HeroNode heroNode = binaryTree.preOrderSearch(6);
    System.out.println(heroNode);
    System.out.println("========中序遍历========");
    heroNode = binaryTree.midOrderSearch(5);
    System.out.println(heroNode);
    System.out.println("========后序遍历========");
    heroNode = binaryTree.posOrderSearch(3);
    System.out.println(heroNode);*/

        binaryTree.preOrder(root);
        System.out.println("==========删除节点后==========");
        binaryTree.deleteHeroNode(3);
        binaryTree.preOrder(root);

    }
}

/**
 * 二叉树
 */
class BinaryTree {
    private HeroNode root;

    public BinaryTree(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

    /**
     * 前序遍历
     * @param root 根节点
     */
    public void preOrder(HeroNode root) {
        if (root == null) {
            System.out.println("该树为空树");
        } else {
            root.preOrder();
        }
    }

    /**
     * 中序遍历
     * @param root 根节点
     */
    public void midOrder(HeroNode root) {
        if (root == null) {
            System.out.println("该树为空树");
        } else {
            root.midOrder();
        }
    }

    /**
     * 后序遍历
     * @param root 根节点
     */
    public void posOrder(HeroNode root) {
        if (root == null) {
            System.out.println("该树为空树");
        } else {
            root.posOrder();
        }
    }

    // ===========================================

    /**
     * 根据编号前序查询节点
     * @param no 编号
     * @return
     */
    public HeroNode preOrderSearch(int no) {
        if (root == null) {
            System.out.println("该树为空树");
        } else {
            return root.preOrderSearch(no);
        }
        return null;
    }

    /**
     * 根据编号中序查询节点
     * @param no 编号
     * @return
     */
    public HeroNode midOrderSearch(int no) {
        if (root == null) {
            System.out.println("该树为空树");
        } else {
            return root.midOrderSearch(no);
        }
        return null;
    }

    /**
     * 根据编号后序查询节点
     * @param no 编号
     * @return
     */
    public HeroNode posOrderSearch(int no) {
        if (root == null) {
            System.out.println("该树为空树");
        } else {
            return root.posOrderSearch(no);
        }
        return null;
    }

    // ===========================================

    /**
     * 删除节点
     * @param no 节点编号
     */
    public void deleteHeroNode(int no) {
        if (root != null) {

            // 如果删除的是根节点本身，直接置null
            if (root.getNo() == no) {
                root = null;
            } else {
                // 递归删除
                root.deleteHeroNode(no);
            }

        } else {
            System.out.println("空树无法删除");
        }
    }
}

/**
 * 节点
 */
class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode leftHeroNode;
    private HeroNode rightHeroNode;

    public HeroNode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    /**
     * 前序遍历:先输出父节点，再遍历左子树和右子树
     */
    public void preOrder() {
        System.out.println(this);
        if (this.getLeftHeroNode() != null) {
            this.getLeftHeroNode().preOrder();
        }

        if (this.getRightHeroNode() != null) {
            this.getRightHeroNode().preOrder();
        }
    }

    /**
     * 中序遍历:先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树
     */
    public void midOrder() {

        if (this.getLeftHeroNode() != null) {
            this.getLeftHeroNode().midOrder();
        }

        System.out.println(this);

        if (this.getRightHeroNode() != null) {
            this.getRightHeroNode().midOrder();
        }
    }

    /**
     * 后序遍历:先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点
     */
    public void posOrder() {
        if (this.getLeftHeroNode() != null) {
            this.getLeftHeroNode().posOrder();
        }

        if (this.getRightHeroNode() != null) {
            this.getRightHeroNode().posOrder();
        }

        System.out.println(this);
    }

    // ======================================

    /**
     * 根据编号前序查询节点
     * @param no 编号
     * @return
     */
    public HeroNode preOrderSearch(int no) {

        HeroNode resHero = null;

        if (this.getNo() == no) {
            return this;
        }

        // 向左子树递归查询
        if (this.getLeftHeroNode() != null) {
            resHero = this.getLeftHeroNode().preOrderSearch(no);
        }
        // 左子树找到直接返回
        if (resHero != null) {
            return resHero;
        }

        // 向右子树递归查询
        if (this.getRightHeroNode() != null) {
            resHero = this.getRightHeroNode().preOrderSearch(no);
        }

        return resHero;
    }

    /**
     * 根据编号中序查询节点
     * @param no 编号
     * @return
     */
    public HeroNode midOrderSearch(int no) {

        HeroNode resHero = null;

        // 向左子树递归查询
        if (this.getLeftHeroNode() != null) {
            resHero = this.getLeftHeroNode().midOrderSearch(no);
        }
        // 左子树找到直接返回
        if (resHero != null) {
            return resHero;
        }

        // 和当前节点比较，如果是则返回
        if (this.getNo() == no) {
            return this;
        }

        // 向右子树递归查询
        if (this.getRightHeroNode() != null) {
            resHero = this.getRightHeroNode().midOrderSearch(no);
        }

        return resHero;
    }

    /**
     * 根据编号后序查询节点
     * @param no 编号
     * @return
     */
    public HeroNode posOrderSearch(int no) {

        HeroNode resHero = null;

        // 向左子树递归查询
        if (this.getLeftHeroNode() != null) {
            resHero = this.getLeftHeroNode().posOrderSearch(no);
        }
        // 左子树找到直接返回
        if (resHero != null) {
            return resHero;
        }

        // 向右子树递归查询
        if (this.getRightHeroNode() != null) {
            resHero = this.getRightHeroNode().posOrderSearch(no);
        }

        // 左子树找到直接返回
        if (resHero != null) {
            return resHero;
        }

        // 和当前节点比较，如果是则返回
        if (this.getNo() == no) {
            return this;
        }

        return resHero;
    }

    // ===========================================

    /**
     * 递归删除结点 1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点 2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树
     * @param no
     */
    public void deleteHeroNode(int no) {

        /*
         * 	思路
         * 1. 因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前结点的子结点是否需要删除结点，而不能去判断当前这个结点是不是需要删除结点.
         * 2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
         * 3. 如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
         * 4. 如果第2和第3步没有删除结点，那么我们就需要向左子树进行递归删除
         * 5.  如果第4步也没有删除结点，则应当向右子树进行递归删除.
         */

        if (this.getLeftHeroNode() != null && this.getLeftHeroNode().getNo() == no) {
            this.setLeftHeroNode(null);
            return;
        }

        if (this.getRightHeroNode() != null && this.getRightHeroNode().getNo() == no) {
            this.setRightHeroNode(null);
            return;
        }

        // 左子树递归
        if (this.getLeftHeroNode() != null) {
            this.getLeftHeroNode().deleteHeroNode(no);
        }

        // 右子树递归
        if (this.getRightHeroNode() != null) {
            this.getRightHeroNode().deleteHeroNode(no);
        }
    }

    public int getNo() {
        return no;
    }

    public void setNo(int no) {
        this.no = no;
    }

    public String getName() {
        return name;
    }

    public void setName(String name) {
        this.name = name;
    }

    public HeroNode getLeftHeroNode() {
        return leftHeroNode;
    }

    public void setLeftHeroNode(HeroNode leftHeroNode) {
        this.leftHeroNode = leftHeroNode;
    }

    public HeroNode getRightHeroNode() {
        return rightHeroNode;
    }

    public void setRightHeroNode(HeroNode rightHeroNode) {
        this.rightHeroNode = rightHeroNode;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroNode{" + "no=" + no + ", name='" + name + '\'' + '}';
    }
}

顺序存储二叉树

顺序存储二叉树的概念

从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树也可以转换成数组，看下面的示意图。

要求:
1)右图的二叉树的结点，要求以数组的方式来存放 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]；

2)要求在遍历数组 arr时，仍然可以以前序遍历，中序遍历和后序遍历的方式完成结点的遍历。

顺序存储二叉树的特点:

1)顺序二叉树通常只考虑完全二叉树；
2)第n个元素的左子节点为 2 * n + 1；
3)第n个元素的右子节点为 2 * n + 2；
4)第n个元素的父节点为 (n-1) / 2。

顺序存储二叉树图解：

顺序存储二叉树代码：

/**
 * @Auther: Arsenal
 * @Date: 2020-03-25 19:36
 * @Description: 顺序存储二叉树
 * 要求: 右图的二叉树的结点，要求以数组的方式来存放 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] 要求在遍历数组
 * arr时，仍然可以以前序遍历，中序遍历和后序遍历的方式完成结点的遍历
 * 顺序存储二叉树的特点:
 * 1)顺序二叉树通常只考虑完全二叉树
 * 2)第n个元素的左子节点为 2 * n + 1
 * 3)第n个元素的右子节点为 2 * n + 2
 * 4)第n个元素的父节点为 (n-1) / 2
 */
public class ArrayBinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
        ArrayBinaryTree arrayBinaryTree = new ArrayBinaryTree(arr);
        System.out.println("========前序遍历========");
        arrayBinaryTree.preOrder(0); // 1,2,4,5,3,6,7
        System.out.println("");
        System.out.println("========中序遍历========");
        arrayBinaryTree.midOrder(0); // 2,4,5,1,3,6,7
        System.out.println("");
        System.out.println("========后序遍历========");
        arrayBinaryTree.posOrder(0); // 2,4,5,3,6,7,1
    }
}

class ArrayBinaryTree {
    private int[] arr;

    public ArrayBinaryTree(int[] arr) {
        this.arr = arr;
    }

    /**
     * 前序遍历:先输出父节点，再遍历左子树和右子树
     * @param index 数组下标
     */
    public void preOrder(int index) {
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            System.out.println("空数组");
            return;
        }

        System.out.print(arr[index] + "  ");

        if ((2 * index + 1) < arr.length) {
            preOrder(2 * index + 1);
        }

        if ((2 * index + 2) < arr.length) {
            preOrder(2 * index + 2);
        }
    }

    /**
     * 中序遍历:先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树
     * @param index 数组下标
     */
    public void midOrder(int index) {
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            System.out.println("空数组");
            return;
        }

        if ((2 * index + 1) < arr.length) {
            preOrder(2 * index + 1);
        }

        System.out.print(arr[index] + "  ");

        if ((2 * index + 2) < arr.length) {
            preOrder(2 * index + 2);
        }
    }

    /**
     * 后序遍历:先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点
     * @param index 数组下标
     */
    public void posOrder(int index) {
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            System.out.println("空数组");
            return;
        }

        if ((2 * index + 1) < arr.length) {
            preOrder(2 * index + 1);
        }

        if ((2 * index + 2) < arr.length) {
            preOrder(2 * index + 2);
        }

        System.out.print(arr[index] + "  ");
    }
}

线索化二叉树

线索二叉树基本介绍:

1)n个结点的二叉链表中含有n+1 【公式 2n-(n-1)=n+1】个空指针域。利用二叉链表中的空指针域，存放指向该结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针（这种附加的指针称为”线索”）;
2)这种加上了线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树(Threaded BinaryTree)。根据线索性质的不同，线索二叉树可分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树三种;
3)一个结点的前一个结点，称为前驱结点;
4)一个结点的后一个结点，称为后继结点。

当线索化二叉树后，Node节点的属性 left 和 right ，有如下情况:
1)left 指向的是左子树，也可能是指向的前驱节点. 比如 ① 节点 left 指向的左子树, 而 ⑩ 节点的 left 指向的就是前驱节点;
2)right指向的是右子树，也可能是指向后继节点，比如 ① 节点right 指向的是右子树，而⑩ 节点的right 指向的是后继节点。

线索二叉树图解：

线索二叉树代码：

/**
 * @Auther: Arsenal
 * @Date: 2020-03-25 19:30
 * @Description: 线索化二叉树
 */
public class ThreadedBinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        // 测试一把中序线索二叉树的功能
        HeroNode root = new HeroNode(1, "America");
        HeroNode node2 = new HeroNode(3, "Clinton");
        HeroNode node3 = new HeroNode(6, "Bush");
        HeroNode node4 = new HeroNode(8, "Obama");
        HeroNode node5 = new HeroNode(10, "Trump");
        HeroNode node6 = new HeroNode(14, "Biden");

        // 二叉树，后面我们要递归创建, 现在简单处理使用手动创建
        root.setLeftHeroNode(node2);
        root.setRightHeroNode(node3);
        node2.setLeftHeroNode(node4);
        node2.setRightHeroNode(node5);
        node3.setLeftHeroNode(node6);

        // 测试中序线索化
        ThreadedBinaryTree threadedBinaryTree = new ThreadedBinaryTree(root);
        threadedBinaryTree.setMidOrderThreadedBinaryTree(root);

        // 测试: 以10号节点测试
        HeroNode leftNode = node5.getLeftHeroNode();
        HeroNode rightNode = node5.getRightHeroNode();
        System.out.println("10号结点的前驱结点是 =" + leftNode); // 3
        System.out.println("10号结点的后继结点是=" + rightNode); // 1

        // 当线索化二叉树后，能在使用原来的遍历方法
        // threadedBinaryTree.infixOrder();
        System.out.println("使用线索化的方式遍历 线索化二叉树");
        threadedBinaryTree.midOrderThreadedList(); // 8, 3, 10, 1, 14, 6
    }
}

/**
 * 线索化二叉树
 */
class ThreadedBinaryTree {
    private HeroNode root;
    // 为了实现线索化，需要创建要给指向当前结点的前驱结点的指针
    // 在递归进行线索化时，pre 总是保留前一个结点
    private HeroNode pre = null;

    public ThreadedBinaryTree(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

    // 中序遍历线索化二叉树的方法
    public void midOrderThreadedList() {
        // 定义一个变量，存储当前遍历的结点，从root开始
        HeroNode node = root;
        while (node != null) {
            // 循环的找到leftType == 1的结点，第一个找到就是8结点
            // 后面随着遍历而变化,因为当leftType==1时，说明该结点是按照线索化
            // 处理后的有效结点
            while (node.getLeftType() == 0) {
                node = node.getLeftHeroNode();
            }

            // 打印当前这个结点
            System.out.println(node);
            // 如果当前结点的右指针指向的是后继结点,就一直输出
            while (node.getRightType() == 1) {
                // 获取到当前结点的后继结点
                node = node.getRightHeroNode();
                System.out.println(node);
            }
            // 替换这个遍历的结点
            node = node.getRightHeroNode();
        }
    }

    /**
     * 设置为中序线索化二叉树
     */
    public void setMidOrderThreadedBinaryTree(HeroNode node) {
        // 如果node==null, 不能线索化
        if (node == null) {
            return;
        }

        // (一)先线索化左子树
        setMidOrderThreadedBinaryTree(node.getLeftHeroNode());
        // (二)线索化当前结点[有难度]

        // 处理当前结点的前驱结点
        // 以8结点来理解
        // 8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1
        if (node.getLeftHeroNode() == null) {
            // 让当前结点的左指针指向前驱结点
            node.setLeftHeroNode(pre);
            // 修改当前结点的左指针的类型,指向前驱结点
            node.setLeftType(1);
        }

        // 处理后继结点
        if (pre != null && pre.getRightHeroNode() == null) {
            // 让前驱结点的右指针指向当前结点
            pre.setRightHeroNode(node);
            // 修改前驱结点的右指针类型
            pre.setRightType(1);
        }
        // !!! 每处理一个结点后，让当前结点是下一个结点的前驱结点
        pre = node;

        // (三)在线索化右子树
        setMidOrderThreadedBinaryTree(node.getRightHeroNode());
    }
}

/**
 * 节点
 */
class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode leftHeroNode;
    private HeroNode rightHeroNode;

    // 说明
    // 1. 如果leftType == 0 表示指向的是左子树, 如果 1 则表示指向前驱结点
    // 2. 如果rightType == 0 表示指向是右子树, 如果 1表示指向后继结点
    private int leftType;
    private int rightType;

    public HeroNode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    public int getNo() {
        return no;
    }

    public void setNo(int no) {
        this.no = no;
    }

    public String getName() {
        return name;
    }

    public void setName(String name) {
        this.name = name;
    }

    public HeroNode getLeftHeroNode() {
        return leftHeroNode;
    }

    public void setLeftHeroNode(HeroNode leftHeroNode) {
        this.leftHeroNode = leftHeroNode;
    }

    public HeroNode getRightHeroNode() {
        return rightHeroNode;
    }

    public void setRightHeroNode(HeroNode rightHeroNode) {
        this.rightHeroNode = rightHeroNode;
    }

    public int getLeftType() {
        return leftType;
    }

    public void setLeftType(int leftType) {
        this.leftType = leftType;
    }

    public int getRightType() {
        return rightType;
    }

    public void setRightType(int rightType) {
        this.rightType = rightType;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroNode{" + "no=" + no + ", name='" + name + '\'' + '}';
    }
}