Algorithm Prim

algorithm

Prim’s (also known as Jarník’s) algorithm is a greedy algorithm that finds a minimum spanning tree for a weighted undirected graph. This means it finds a subset of the edges that forms a tree that includes every vertex, where the total weight of all the edges in the tree is minimized. The algorithm operates by building this tree one vertex at a time, from an arbitrary starting vertex, at each step adding the cheapest possible connection from the tree to another vertex.

前言

    普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。

普里姆算法

普里姆算法介绍

1)普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
2)普利姆的算法如下:
(1)设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合 ;
(2)若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1;
(3)若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1;
(4)重复步骤(2)，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边。

普里姆算法图解：


修路问题：


普里姆算法代码：

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import java.util.Arrays;

/**
 * @Auther: Arsenal
 * @Date: 2020-03-29 9:50
 * @Description: 普里姆算法
 */
public class Prim {
    public static void main(String[] args) {
//测试看看图是否创建ok
        char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        int vertex = data.length;
        //邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通
        int[][] weight = new int[][]{
                {10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
                {5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
                {7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
                {10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
                {10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
                {10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
                {2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},};

        //创建MGraph对象
        MGraph graph = new MGraph(vertex);
        //创建一个MinTree对象
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, vertex, data, weight);
        //输出
        minTree.showGraph(graph);
        //测试普利姆算法
        minTree.prim(graph, 1);//

    }
}

/**
 * 创建最小生成树->村庄的图
 */
class MinTree {

    /**
     * 创建邻接矩阵
     * @param graph  图对象
     * @param vertex 顶点个数
     * @param data   顶点的值
     * @param weight 邻接矩阵
     */
    public void createGraph(MGraph graph, int vertex, char[] data, int[][] weight) {
        int i, j;
        for (i = 0; i < vertex; i++) {
            graph.data[i] = data[i];
            for (j = 0; j < vertex; j++) {
                graph.weight[i][j] = weight[i][j];
            }
        }
    }

    /**
     * 展示图
     * @param graph 图对象
     */
    public void showGraph(MGraph graph) {
        for (int[] links : graph.weight) {
            System.out.println(Arrays.toString(links));
        }
    }

    /**
     * 普里姆算法，生成最小生成树
     * @param graph  图对象
     * @param vertex 从第几个顶点开始生成 'A'->0,'B'->1....
     */
    public void prim(MGraph graph, int vertex) {
        //visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
        int visited[] = new int[graph.vertex];
        //visited[] 默认元素的值都是0, 表示没有访问过
//		for(int i =0; i <graph.verxs; i++) {
//			visited[i] = 0;
//		}

        //把当前这个结点标记为已访问
        visited[vertex] = 1;
        //h1 和 h2 记录两个顶点的下标
        int h1 = -1;
        int h2 = -1;
        int minWeight = 10000; //将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
        for (int k = 1; k < graph.vertex; k++) {//因为有 graph.verxs顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1边

            //这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近
            for (int i = 0; i < graph.vertex; i++) {// i结点表示被访问过的结点
                for (int j = 0; j < graph.vertex; j++) {//j结点表示还没有访问过的结点
                    if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                        //替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
                        minWeight = graph.weight[i][j];
                        h1 = i;
                        h2 = j;
                    }
                }
            }
            //找到一条边是最小
            System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
            //将当前这个结点标记为已经访问
            visited[h2] = 1;
            //minWeight 重新设置为最大值 10000
            minWeight = 10000;
        }
    }
}

/**
 * 图
 */
class MGraph {
    int vertex; //顶点个数
    char[] data; //顶点
    int[][] weight; // 邻接矩阵，权值存边

    public MGraph(int vertex) {
        this.vertex = vertex;
        data = new char[vertex];
        weight = new int[vertex][vertex];
    }
}

延伸

    Prim算法详解
    普里姆算法-百度百科
    韩顺平数据结构和算法
    最小生成树（普里姆算法）
    Prim’s Spanning Tree Algorithm

Article Title:Algorithm Prim

Article Author:Funing Ma

Release Time:2020-03-29 18:18:28

Last Update:2020-03-30 10:18:22

Original Link:https://mafuning.github.io/2020/03/29/2020-03-29-Algorithm-Prim/

License Agreement: "CC-BY-SA-4.0"

Content
  1. 1. 前言
  2. 2. 普里姆算法
  3. 3. 延伸